二分查找
本文将使用画图来理解二分，并且介绍了经典的二分查找板子，例题。
能够使用二分查找的两个前提：
- 二分查找仅使用于数组，这样才能通过判断大小关系来排除一半的搜索区间；
- 要求输入数据是有序的，而在链表中使用效率很低，因为其在循环中需要跳跃式（非连续地）访问元素。
整数二分
根据上面两个前提，很多人认为二分的本质是单调性，但实际上并不是的，二分的本质是边界。
假设给定一个区间，在这个区间上给定了某种性质，使得在右半区间满足这个性质，左半区间不满足这个性质，那么二分既能够查找左半区间的边界，也可以寻找右半区间的边界。
现在我们来看一下 左半区间二分查找：
再看一下右半区间二分查找：
那么这里有一个问题，
为什么两种二分，mid的写法有一个 + 1有一个并没有（对应向上取整和向下取整）
下面举一个例子：
看一下为什么要加上1
整数二分实战思想
如果你想让答案在右边区间，那么你得让mid满足左区间的性质，反之,可求左区间
整数二分实战模板
二分模板一共有两个，分别适用于不同情况。
版本1
其更新操作是r = mid，计算mid时不需要加1。
1
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7
8
| int binarySearch(int l, int r){
while(l < r){
int mid = l + r >> 1;
if(check(mid)) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return l;
}
|
版本2
其更新操作是l = mid，此时为了防止死循环，计算mid时需要加1。
1
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3
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5
6
7
| int binarySearch(int l, int r){
while(l < r){
int mid = l + r + 1 >> 1;
if(check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
}
|
复杂度分析
时间复杂度：O(logn)（折半查找树）
空间复杂度：O(1)（使用常数大小空间 l, r, mid)
当数组长度很大时，加法 (l + r) 的结果可能超出 int 类型的取值范围。可换为：
1
2
3
| int mid = l + r >> 1;
int mid = l + (r - l) >> 1;
|
整数二分经典例题
问题描述
给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。
对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
输入格式
第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。
第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。
接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。
输出格式
共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
数据范围
1 ≤ n ≤ 100000
1 ≤ q ≤ 10000
1 ≤ k ≤ 10000
输入样例：
输出样例：
代码：
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| #include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, Q;
int q[N];
int main()
{
cin >> n >> Q;
for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> q[i];
while(Q --){
int x; cin >> x;
int l = 0 , r = n - 1;
while(l < r){
int mid = l + r >> 1;
if(q[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
if(q[l] != x) puts("-1 -1");
else{
cout << l << " ";
int l = 0 , r = n - 1;
while(l < r){
int mid = l + r + 1 >> 1;
if(q[mid] <= x) l = mid;
else r = mid - 1;
}
cout << l << endl;
}
}
return 0;
}
|
浮点数二分经典例题
问题描述
给定一个浮点数 n，求它的三次方根。
输入格式
共一行，包含一个浮点数 n 。
输出格式
共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。
注意，结果保留 6 位小数。
数据范围
−10000 ≤ n ≤ 10000
输入样例：
输出样例：
代码：
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| #include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
double n;
cin >> n;
double l = -10000 , r = 10000;
while(r - l > 1e-8){
double mid = (l + r) / 2;
if(mid * mid * mid >= n) r = mid;
else l = mid;
}
printf("%lf\n" , l);
}
|
技术支持
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AcWing789.数的范围
AcWing 790. 数的三次方根
